O Autômato Celular: Caminho para a Complexidade a Partir da Simplicidade

O Autômato Celular (AC) é um intrigante modelo matemático e computacional, introduzido por John von Neumann e popularizado por Stephen Wolfram, que desempenhou um papel fundamental na exploração da complexidade emergente a partir de regras simples. Neste artigo, vamos nos aprofundar nos fundamentos dos Autômatos Celulares, com foco especial nos estudos de Wolfram.

Os ACs são divididos principalmente em duas categorias: AC unidimensionais e AC bidimensionais. Nos unidimensionais, as células são organizadas em uma única linha, enquanto nos bidimensionais, elas formam uma matriz de células, o que permite uma riqueza ainda maior de padrões e comportamentos.

Os Autômatos Celulares de Wolfram representam uma classe especial de AC unidimensionais. Eles consistem em uma linha de células, onde cada célula pode estar em um dos estados ‘0’ ou ‘1’. O sistema evolui ao longo do tempo, gerando uma nova geração de células com base na geração atual, usando regras predefinidas que determinam o estado de cada célula.

Exemplo da regra 30 que aparece em concha do Conus textile.

Essas regras são codificadas como números inteiros de 0 a 255, conhecidos como “regras elementares”. Cada número corresponde a uma regra específica que governa como as células evoluem. Algumas regras notáveis incluem a 255* (modelo epidêmico), 51* (reflexão), 90* (Triângulo de Pascal — módulo de 2), 126*, 218*, 30* (padrão concha), 110*, 184* (diagonal) e 18* (Triângulo de Sierpinski). O estudo dessas regras tem sido uma área de pesquisa intensiva, revelando como comportamentos complexos podem emergir de regras simples.

* Todo as figuras geradas são com uma semente, sendo localizada no centro da linha.

Regra 18 com uma semente no centro da primeira geração

Transformar essas ideias em código é uma tarefa fascinante. Para representar as 256 regras elementares dos AC em valores binários, utilizamos 8 bits, já que 2⁸ = 256. Isso significa que cada regra é representada exclusivamente como um número binário de 8 dígitos.

rotina que faz a conversão de números decimais para binários

Por exemplo, a regra 213 é representada em binário como 10101011, o que corresponde a 1*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 0*2³ + 1*2⁴ + 0*2⁵ + 0*2⁶ + 1*2⁷ = 213 em decimal.

Na construção da nova geração em um Autômato Celular (AC), o processo envolve a observação dos estados das células em grupos de 3 na geração atual. O índice da célula na nova geração é calculado com base no índice da célula central da geração atual, juntamente com os estados de suas células vizinhas à esquerda (índice — 1) e à direita (índice + 1). Esses três estados, combinados com uma regra elementar específica, determinam o novo estado da célula na nova geração.

Por exemplo, se tivermos a sequência 00101010 com um total de 6 valores, é preciso aplicar as condições de contorno. Quando o índice da célula à esquerda (index-1) for menor que 0, usamos o último valor da célula da linha. Da mesma forma, quando o índice da célula à direita (index+1) for maior que o tamanho da linha, é usado o primeiro valor da célula da linha. Isso garante que o AC funcione de maneira consistente, mesmo nas extremidades da grade celular, mantendo a integridade da simulação.

Essas condições de contorno são essenciais para manter a coerência do sistema em todas as posições da grade celular.

Esse processo é repetido para todas as células em uma linha, gerando assim a próxima geração de acordo com as regras elementares especificadas.

Evolução temporal dos AC

Através dos Autômatos Celulares, podemos explorar a riqueza da complexidade que pode surgir a partir de regras simples, lançando luz sobre estruturas fractais, oscilações periódicas e até mesmo comportamento caótico que são padrões ocultos que permeiam nosso mundo. É uma jornada matemática e computacional fascinante que continua a inspirar pesquisadores e entusiastas da ciência da complexidade para modelar sistemas naturais complexos, abrindo portas para entender fenômenos biológicos, físicos e sociais.

Código-Fonte — Cellular_Automaton

Referências:

1. Wolfram, S. (2002). A New Kind of Science. Wolfram Media.
2. Ilachinski, A. (2001). Cellular Automata: A Discrete Universe. World Scientific Publishing.
3. Mitchell, M. (1990). Universality and Complexity in Cellular Automata. Physica D: Nonlinear Phenomena, 45(1–3), 343–360.
4. Toffoli, T., & Margolus, N. (1987). Class IV Cellular Automata. Physica D: Nonlinear Phenomena, 22(1–3), 166–194.
5. Griffeath, D. (2002). Exploring the Computational Universe: Introduction to Cellular Automata. Santa Fe Institute.